Definíció: Számtani sorozatnak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben ( a második elemtől kezdve ) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó.

Ezt a különbséget a számtani sorozat differenciájának nevezzük, jele d. A definíció alapján:

A számtani sorozat három szomszédos tagját felírva:

alakban is. Ebből az alakból látszik, hogy a középső tag a két szomszédos tag (illetve a középsőhöz szimmetrikusan elhelyezkedő két tag) számtani közepe. (E sorozat erről a tulajdonságáról kapta a nevét.)

A számtani sorozat n - edik tagjának felírásánál a definícióból indulunk ki:

Ebből azt sejtjük, hogy . Hogy ez a sejtés helyes-e, azt a teljes indukció módszerével vizsgáljuk.

• A sejtés n = 1-re igaz.
• Feltesszük, hogy n -re igaz: .
• Megvizsgáljuk, n + 1 -re igaz-e, hogy . Mivel a definíció és az indukciós feltevés alapján ,

A számtani sorozat első n tagjának összegét Gauss gondolata alapján határozzuk meg. Felírjuk az első n tag összegét, majd ugyanezt fordított sorrendben is és a megfelelő tagokat összeadjuk:

Minden számpárt felírunk a₁ illetve a_n és d segítségével:

Az összegben n - szer szerepel  és d kiesik: . Ebből S_n - t kifejezzük. A számtani sorozat első n tagjának összege: