Bármely pozitív valós szám egyértelműen felírható valamely 1-től különböző pozitív valós szám hatványaként. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevőjét a szám adott alapú logaritmusának nevezzük.

A logaritmus fogalma

A b pozitív számnak az 1-től különböző pozitív a alapú logaritmusának nevezzük azt a hatványkitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk. Ez röviden: 

, (0<a és ;0<b).

A logaritmusra vonatkozó azonosságok

Szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével.

Ennek bizonyításához tekintsük a, b, c pozitív számokat és a szorzatukat. A logaritmus definíciója alapján:

A bc szorzatot írjuk fel egyenlő alapú hatványok szorzataként is: 

.

A kétféle felírásból következik: .

Mivel bármely pozitív szám, az a (0<a és ) alap hatványaként csak egyféle módon állítható elő, ezért az említett azonosság igaz. 



1. Tört logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező logaritmusának különbségével.
A bizonyításhoz írjuk fel a  hányadost kétféle módon, a logaritmus fogalmának segítségével is, az egyenlő alapú hatványok osztásával is. 



A két egyenlőség összehasonlításával kapjuk a bizonyítandó azonosságot. 


2. Hatvány logaritmusa egyenlő az alap logaritmusának és a kitevőnek a szorzatával.

A b^k hatványt írjuk fel a logaritmus fogalma segítségével is, hatvány hatványaként is: 





A két egyenlőség jobb oldalának összehasonlításával kapjuk az azonosságot. 


1. A harmadik azonosságból és a törtkitevőjű hatvány értelmezéséből következik a gyök logaritmusára vonatkozó azonosság: a gyök logaritmusa egyenlő a gyök alatti kifejezés logaritmusának és a gyökkitevőnek a hányadosával.
   
   

Áttérés más alapú logaritmusra

Ha ismerjük a számoknak egy adott alapú logaritmusát, akkor azok segítségével egy szám valamely más alapú logaritmusát is kiszámíthatjuk.

Tekintsük adottnak a számok a alapú logaritmusát (). Ezek segítségével határozzuk meg egy x szám (0<x) b alapú logaritmusát (). A logaritmus fogalma alapján . Az egyenlőség mindkét oldalának vegyük az a alapú logaritmusát. Az azonosságok alapján:

Ebből kapjuk: azaz valamely szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szám régi alapú logaritmusát osztjuk az új alap régi alapú logaritmusával.