és 
értékét:
1. a, Először számítsuk ki és értékét:
.
Tehát az eredeti egyenlet így alakul:
Innen:
vagy
.
b, Aegyenletnek csak akkor van értelme, ha
és x>0.
Ezek után a megoldandó egyenlet így is írható:
Ezen lg2x-ben másodfokú egyenlet gyökei:
Tehát:
, azaz
, így
, vagy
, azaz
, így
.
De x=5 a kikötés miatt nem lehet megoldás, így - amint az könnyen ellenőrizhető - egyenletünk egyedüli megoldása:
2. Ha a háromszög egyik oldala AB ( nyilván AB = 6 ), akkor a hozzá tartozó magasság, azaz
, ha a keresett C pont az y = 2 egyenes fölött van,
, ha a keresett pont az y = 2 egyenes alatt van. Így a háromszög T területe:
.Afeltételi egyenlőségből nyilvánvaló, hogy ha van ilyen C pont az y = 2 egyenes fölött, akkor e pontnak az y = 2 egyenesre vonatkozó tükörképe is megfelelő, tehát a keresett ponthalmaz pontjai az y = 2 egyenesre szimmetrikusan helyezkednek el. Ezért csak az y = 2 egyenes fölötti pontokat keressük (y0>2), majd a kapott ponthalmazt tükrözzük az y = 2 egyenesre.
Egy C(x0; y0) (y0 >2) akkor és csak akkor tartozik a keresett ponthalmazhoz, ha C koordinátái kielégítik a feltételi egyenlőséget. Mivel
ezért
Alakítsuk át a kapott egyenletet, hiszen kör egyenletére emlékeztet:
Most keressük meg az y = 2 egyenes alatti, a feltételnek eleget tevő pontokat. E ponthalmaz - mint láttuk -az előbbi eredménynek az y = 2 egyenesre vonatkozó tükörképe, így az egy olyan kör, amelynek középpontja O(5; -4), sugara r = 3, vagyis:.
A feladat feltételeinek eleget tevő pontok tehát két körön helyezkednek el (l. az ábra).
3. Jelöljük n-nel az eredeti konvex sokszög oldalainak számát, k-val pedig a levágott egyik sokszög oldalainak számát. Ekkor nyilván a megmaradt sokszög oldalainak száma n-k+2.
A keletkezett k oldalú, illetve n-k+2 oldalú sokszögek átlói számának összege:
.Így a feladat feltételei az alábbi egyenlethez vezetnek:
.Végigszorozva 2-vel és a zárójeleket fölbontva kapjuk:
.Mivel n és k pozitív egészek ( n,k>3 ), így a 28-at kell két pozitív egész szám szorzatára bontanunk.
28 = 28˙1 = 14˙2 = 7˙4 =4˙7 = 2˙14 = 1˙28.
Így k-2=1,2,4,7,14,28, azaz k=3,4,6,9,16,30 és
n-k=28,14,7,4,2,1, azaz n=31,18,13,13,18,31.
Azt kaptuk tehát:
1.n=31 és k=3 (vagy n-k+2=30; e két eset nyilván ugyanaz)
2.n=18 és k=4, vagy k=16;
3.n=13 és k=6, vagy k=9.
A feltételeknek tehát 3 sokszög felel meg: a 31, a 18 és a 13 oldalú sokszög. 31 oldalú sokszög esetén 3 és egy 30 oldalú sokszögre vágtuk szét; 18 oldalú sokszög esetén egy 4 és egy 16; végül 13 oldalú sokszög esetén egy 6 és egy 9 oldalú sokszögre vágtuk szét az eredeti sokszöget.
4. Aegyenletnek csak akkor van értelme, ha
Ezek után az egyenletet két esetben kell vizsgálnunk az abszolút érték miatt. Az egyszerűbb kezelhetőség kedvéért vezessük be a
jelölést.
I. Ha az
akkor
akkor
Mivel DBC háromszögben DN
és BP súlyvonalak,
így ezek S metszéspontja a DBC háromszög súlypontja. Ez viszont
azt jelenti, hogy CS is súlyvonala a háromszögnek, tehát a
DB szakaszt annak F felezőpontjában metszi.
Ugyanez természetesen elmondható az ADB háromszögre is; BQ és DM súlyvonalak R metszéspontja e háromszög súlypontja, ezért AR is súlyvonal, s így a BD átlót annak F felezőpontjában metszi.
Tehát CS és AR egyenesek
T metszéspontja a DB átló F felezőpontja. Ebből viszont
már következik, hogy D, T, B, pontok egy egyenesen vannak.
6. Írjuk ki részletesen a vizsgálandó 
egyenlőséget:
Azt kaptuk tehát: a=1, b=9,
c=8.
Valóban: 11+88+99=198.
7. Az 
kifejezés
értékét kell meghatároznunk az
Először alakítsuk át a harmadik egyenlet bal oldalát:
Tekintsük az ábrát, ahol O-val jelöltük a beírható gömb középpontját, P-vel, Q-val illetve R-rel az S sík AD, BD, illetve CD élekkel alkotott metszéspontját. Jelöljük továbbá az OD szakasz és az S sík metszéspontját T-vel. Azt kell megmutatnunk, hogy T azonos O-val.
Mivel OD az ABD, BCD, ACD háromszögek síkjai szögfelező síkjainak metszésvonala és T illeszkedik OD-re, ezért T egyenlő távolságra van ABD, BCD, ACD háromszögek síkjaitól. Jelöljük ezt a távolságot d-vel.
A feltétel szerint S felezi a tetraéder felszínét, tehát:
